Adam Wojciech MARCZAK

Prowadzone przeze mnie badania naukowe z zakresu algebry ogólnej dotyczą przede wszystkim charakteryzacji struktur algebraicznych poprzez ich własnosci algebraiczne i kombinatoryczne, a także reprezentacji struktur algebraicznych.

Współczesna nauka coraz częściej sięga do wypracowanych w ostatnich latach metod algebraicznych. Badanie struktur algebraicznych i ich charakteryzowanie poprzez ich własności kombinatoryczne i strukturalne stało się więc ważną częścią współczesnej algebry. Pomimo, iż badania dotyczące tej tematyki prowadzone są intensywnie od początku lat siedemdziesiątych ubiegłego stulecia w wielu ośrodkach matematycznych na świecie, dotychczas poznane zostały częściowo jedynie najprostsze struktury algebraiczne, w tym grupoidy, tj. algebry z jednym działaniem binarnym, i to tylko przy założeniu spełniania przez algebrę określonych warunków. Właściwie bada się wyłącznie grupoidy idempotentne, tj. spełniające równość x^2 = x, gdyż warunek ten w znakomity sposób ogranicza ilość działań algebraicznych danej struktury, a co za tym idzie, pozwala na łatwy jej opis.

Badania z zakresu charakteryzacji struktur algebraicznych prowadzone są przeze mnie trójtorowo. Algebry charakteryzowane są:

równościowo _ poprzez określenie równości, które sa spełnianiane przez każdą algebrę danej klasy, klasa algebr możliwa do opisania w ten sposób nazywana jest rozmaitością algebr,

kombinatorycznie _ poprzez ilościowe określenie działań algebraicznych danej arności w algebrze, tj. przez tzw. p_n-ciąg algebry, czyli ciąg ilości działań istotnie n-arnych (działań zależących od każdej ze swych zmiennych) tej algebry _ najistotniejsze są tu przypadki, gdy dany ciąg liczb kardynalnych w jednoznaczny sposób charakteryzuje pewną rozmaitość algebr,

strukturalnie _ poprzez scharakteryzowanie wszystkich podstruktur danej algebry lub wskazanie jednej z nich, a także poprzez podanie konstrukcji prowadzącej do utworzenia rozmaitości algebr spełniających określone warunki.