\documentclass[12pt,a4paper,oneside]{article}
\usepackage[OT4,plmath]{polski}
\usepackage{amsfonts, amsopn,amsmath}
\pagestyle{empty}

\topmargin    -28mm
\textheight    267.0mm
\textwidth     175mm
\oddsidemargin -10mm
\arraycolsep   2.0pt

%\addtolength{\textwidth}{+20mm}
%\addtolength{\hoffset}{-10mm}
%\addtolength{\marginparwidth}{-30pt}
%\addtolength{\voffset}{-25mm}
%\addtolength{\textheight}{+40mm}

\newcommand{\R}{{\mathbb{R}}}
\newcommand{\Q}{{\mathbb{Q}}}
\newcommand{\Z}{{\mathbb{Z}}}
\newcommand{\C}{{\mathbb{C}}}
\newcommand{\N}{{\mathbb{N}}}

%\newcommand{\lin}{{\textrm{lin}}}
%\newcommand{\lins}{{\textrm{lin}\,}}

%\DeclareMathOperator{\sgn}{sgn}
%\DeclareMathOperator{\conv}{conv}


\begin{document}
\begin{center}
{\sc
ANALIZA MATEMATYCZNA 1, WPPT (MATEMATYKA)
}

\bigskip

{\bf Kolokwium 1 jeszcze raz}

8 grudnia 2003

Grupa \'cwiczeniowa Bartka Dydy.
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Sprawd\'z z definicji, \.ze ci\k{a}g $a_n=\frac{(-1)^n}{n^2}$ spe{\l}nia
warunek Cauchy'ego.

\item Ci\k{a}g $(a_n)$ jest zdefiniowany rekurencyjnie:
$a_1=\frac{\pi}{2}$; $a_{n+1}=\sin(a_n)$ dla $n=1,2,3,\dots$.
Rozstrzygnij, czy ci\k{a}g $(a_n)$ jest zbie\.zny i~znajd\'z
zbi\'or punkt\'ow skupienia tego ci\k{a}gu.

\item (a) Znajd\'z granic\k{e} ci\k{a}gu
$a_n = \sqrt{n^2+2n}-\sqrt{n^2-n}$.\newline
(b) Oblicz
$$
\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{{2n+1 \choose 0} + {2n+1 \choose 2} +\cdots+{2n+1 \choose 2n}+n}\,.
$$

\item (a) Oblicz granic\k{e}
${\displaystyle\,
\lim_{x\to 1} \frac{\ln x}{\sin(\pi x)}\,
}$
nie korzystaj\k{a}c z~regu{\l}y de l'Hospitala.\vspace{2mm}\newline
(b) Niech $f(x)=\sin x + (x^2-1)^x x^{-2x} \cos x$ dla $x>1$. Uzasadnij, \.ze
${\displaystyle \liminf_{x\to\infty} f(x) = -\sqrt{2}}$.

\item Funkcje $f_n:\R\to [0,\infty)$ s\k{a}
ci\k{a}g{\l}e, $n\in\N$. Definiujemy funkcj\k{e} $f:\R\to [0,\infty)$
wzorem ${\displaystyle f(x)=\inf_{n\in \N} f_n(x)}$.
\newline
(a) Poka\.z na przyk{\l}adzie, \.ze $f$ nie musi by\'c ci\k{a}g{\l}a.\newline
(b) Udowodnij, \.ze
$\,\,{\displaystyle
\forall_{x_0 \in\R} \forall_{\varepsilon>0} \exists_{\delta>0} \forall_{x\in\R}
 \left( |x-x_0|<\delta \implies f(x)<f(x_0)+\varepsilon \right)
}$.

\end{enumerate}
{
\small
Punktacja: za zadania 1, 2, 3, 4, 5 mo\.zna otrzyma\'c odpowiednio
10, 15, 25, 30, 20 punkt\'ow.
}

\end{document}