\documentclass[12pt,a4paper,oneside]{article}
\usepackage[OT4,plmath]{polski}
\usepackage{amsfonts, amsopn,amsmath}
\pagestyle{empty}

\topmargin    -28mm
\textheight    267.0mm
\textwidth     175mm
\oddsidemargin -10mm
\arraycolsep   2.0pt

%\addtolength{\textwidth}{+20mm}
%\addtolength{\hoffset}{-10mm}
%\addtolength{\marginparwidth}{-30pt}
%\addtolength{\voffset}{-25mm}
%\addtolength{\textheight}{+40mm}

\newcommand{\R}{{\mathbb{R}}}
\newcommand{\Q}{{\mathbb{Q}}}
\newcommand{\Z}{{\mathbb{Z}}}
\newcommand{\C}{{\mathbb{C}}}

%\newcommand{\lin}{{\textrm{lin}}}
%\newcommand{\lins}{{\textrm{lin}\,}}

%\DeclareMathOperator{\sgn}{sgn}
%\DeclareMathOperator{\conv}{conv}


\begin{document}
\begin{center}
{\sc
ANALIZA MATEMATYCZNA 1, WPPT (MATEMATYKA)
}

\bigskip

{\bf Kolokwium 1}

25 listopada 2003

Grupa $\clubsuit$
\end{center}

\begin{enumerate}
\item (a) Sprawd\'z z definicji {Cauchy'ego},
\.ze funkcja $f(x)=x^3$ jest ci\k{a}g{\l}a w~punkcie~$x_0=2$.
\newline
(b) Sprawd\'z z definicji, \.ze ci\k{a}g $(-1)^n$ nie spe{\l}nia
warunku Cauchy'ego.

\item (a) Oblicz
$$
\lim_{n\to\infty} \left( \sum_{k=1}^n \frac{1}{\sqrt{5n^2-3k}}
\right).
$$
(b) Niech $a_k=\frac{k^2-k}{k^2-k-2}$ dla $k=3,4,\ldots$.
Oblicz ${\displaystyle\lim_{n\to\infty}(a_3a_4a_5 \ldots a_n)}$.
\newline
(c) Oblicz ${\displaystyle \liminf_{x\to\infty} f(x)}$
i ${\displaystyle\limsup_{x\to\infty} f(x)}$
dla $f(x)=4x-2[2x]+\frac{1}{x^2}$.
\newline

\item Rozstrzygnij, czy granica
${\displaystyle
\lim_{x\to\infty} \left(\frac{x+1}{x+4}\right)^{x+
 \sin\frac{\pi x}{2}}
}$
istnieje. Odpowied\'z uzasadnij.

\item O funkcji $f:\R\to\R$ zak{\l}adamy, \.ze
${\displaystyle\lim_{x\to\infty}(f(x)-x^2)}$ istnieje i~jest sko\'nczona.
Udowodnij, \.ze
$$
\limsup_{x\to\infty} \frac{f(x+1)-f(x)}{x} = 2.
$$

\end{enumerate}
{
\small
Punktacja: za zadania 1, 2, 3, 4 mo\.zna otrzyma\'c odpowiednio
20, 40, 15, 20 punkt\'ow, 
\newline
a za spos\'ob redagowania (komentarze, uk{\l}ad graficzny, czytelno\'s\'c pisma)
5 punkt\'ow.
}

\vspace{22mm}
\begin{center}
{\sc
ANALIZA MATEMATYCZNA 1, WPPT (MATEMATYKA)
}

\bigskip

{\bf Kolokwium 1}

25 listopada 2003

Grupa $\diamondsuit$
\end{center}

\begin{enumerate}
\item (a) Sprawd\'z z definicji {Cauchy'ego},
\.ze funkcja $f(x)=x^3$ jest ci\k{a}g{\l}a w~punkcie~$x_0=3$.
\newline
(b) Sprawd\'z z definicji, \.ze ci\k{a}g $(-1)^n$ nie spe{\l}nia
warunku Cauchy'ego.

\item (a) Oblicz
$$
\lim_{n\to\infty} \left( \sum_{k=1}^n \frac{1}{\sqrt{3n^2-2k}}
\right).
$$
(b) Niech $a_k=\frac{k^2-k}{k^2-k-2}$ dla $k=3,4,\ldots$.
Oblicz ${\displaystyle\lim_{n\to\infty}(a_3a_4a_5 \ldots a_n)}$.
\newline
(c) Oblicz ${\displaystyle \liminf_{x\to\infty} f(x)}$
i ${\displaystyle\limsup_{x\to\infty} f(x)}$
dla $f(x)=4x-2[2x]-\frac{1}{x^2}$.
\newline

\item Rozstrzygnij, czy granica
${\displaystyle
\lim_{x\to\infty} \left(\frac{x+1}{x+3}\right)^{x+
 \cos\frac{\pi x}{2}}
}$
istnieje. Odpowied\'z uzasadnij.

\item O funkcji $f:\R\to\R$ zak{\l}adamy, \.ze
${\displaystyle\lim_{x\to\infty}(f(x)-x^2)}$ istnieje i~jest sko\'nczona.
Udowodnij, \.ze
$$
\limsup_{x\to\infty} \frac{f(x+1)-f(x)}{x} = 2.
$$

\end{enumerate}
{
\small
Punktacja: za zadania 1, 2, 3, 4 mo\.zna otrzyma\'c odpowiednio
20, 40, 15, 20 punkt\'ow, 
\newline
a za spos\'ob redagowania (komentarze, uk{\l}ad graficzny, czytelno\'s\'c pisma)
5 punkt\'ow.
}
\end{document}