\documentclass[12pt,a4paper]{article}
\usepackage{amsmath,amsfonts,amssymb}
\usepackage{polski}
\usepackage{fancyhdr}

%\prefixing
\hoffset=-30pt
\voffset=-30pt
\addtolength{\textheight}{45pt}
\addtolength{\textwidth}{50pt}

\newcommand{\set}[1]{\left\{#1\right\}}
\newcommand{\then}{\Rightarrow}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}

\DeclareMathOperator{\sgn}{sgn}

\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\fancyhead[L]{\footnotesize{WPPT (Matematyka)} }
\fancyhead[C]{\footnotesize{Analiza matematyczna 2}}
\fancyhead[R]{\footnotesize{Kolokwium nr 2, 2 VI 2006}}

\begin{document}
\begin{center}
{\large Grupa $\heartsuit$}
\end{center}


\begin{enumerate}
\item
Sprawd\'z zbie\.zno\'s\'c ca{\l}ek niew{\l}a\'sciwych:
$$\text{(a)}\ \ \int_0^1 \frac{dx}{\cos^2x+\sin x - 1},\qquad \text{(b)}\ \ \int_3^\infty \frac{\arctan e^{2x}}{x^2-3x+2}dx.$$


%\item (Bana\'s-W\k{e}drychowicz)
%\begin{itemize}
%\item[A]
%Niech $f(x)=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}$, $x\in\R$. Zdefiniujmy indukcyjnie ci\k{a}g funkcyjny $(f_n)$ k{\l}ad\k{a}c $f_1(x)=f(x)$, $f_{n+1}(x)=f(f_n(x))$ dla $x\in\R$, $n\in\N$. Udowodni\'c, \.ze $f_n$ zbiega jednostajnie do funkcji stale r\'ownej zero.
%\item[B]
%To samo dla $f(x)=\sin x$.
%\end{itemize}

\item
Uzasadnij, \.ze szereg funkcyjny
$$
f(x)=\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n} \sin\frac{x^2}{n}
$$
jest zbie\.zny dla wszystkich $x\in \R$ i~\.ze tak okre\'slona  funkcja $f$
jest ci\k{a}g{\l}a na $\R$.

\item
Znajd\'z szereg Maclaurina funkcji
$$
 f(x) = \int_0^x \sin(t^2)\,dt, \quad x\in R,
$$
\emph{korzystaj\k{a}c} m.in. ze znanego rozwini\k{e}cia funkcji sinus.
Oblicz pochodn\k{a} $f^{(103)}(0)$.

\noindent
(Uwaga: prosz\k{e} nie pr\'obowa\'c bezpo\'srednio oblicza\'c 
ca{\l}ki $\int \sin(t^2)\,dt$, to si\k{e} nie uda\ldots).


\item
Wyznacz obszar zbie\.zno\'sci szeregu pot\k{e}gowego
$$
%\text{(a)} \sum_{n=1}^\infty \frac1{x^n}\cdot \sin\frac1{2^n},\qquad\text{(b)} 
\sum_{n=1}^\infty \frac{(2-(-1)^n)^n}{n}x^n$$

\item
Udowodnij, \.ze dla dowolnej funkcji ci\k{a}g{\l}ej $f:[0,1]\to \R$
istnieje ci\k{a}g wielomian\'ow $P_n$ taki, \.ze $P_n \rightrightarrows f$
na $[0,1]$ oraz $f(x)\leq P_{n+1}(x) \leq P_n(x)$ dla dowolnych $x\in \R$
i~$n\in \N$. Wskaz\'owka: skorzystaj z~twierdzenia Weierstrassa.
(Prostsza wersja za nieco mniej punkt\'ow:
tylko warunek $f(x)\leq P_n(x)$ zamiast $f(x)\leq P_{n+1}(x) \leq P_n(x)$).
\end{enumerate}

\newpage
\begin{center}
{\large Grupa {\LARGE $\star$}}
\end{center}



\begin{enumerate}
\item
Sprawd\'z zbie\.zno\'s\'c ca{\l}ek niew{\l}a\'sciwych:
 $$\text{(a)}\ \ \int_0^1 \frac{dx}{\sqrt[3]{x^4} + e^x - 1},\qquad
  \text{(b)}\ \ \int_1^\infty \frac{\ln(1+x)}{x^2+x^3}dx.$$

\item
Uzasadnij, \.ze szereg funkcyjny
$$
f(x)=\sum_{n=1}^\infty \frac{\ln(x+\frac{1}{n})}{n^2}
$$
jest zbie\.zny dla wszystkich $x\geq 1$ i~\.ze tak okre\'slona  funkcja $f$
jest ci\k{a}g{\l}a na $[1,\infty)$.

\item
Znajd\'z szereg Maclaurina funkcji
$$
 f(x) = \int_0^x \cos(t^2)\,dt, \quad x\in R,
$$
\emph{korzystaj\k{a}c} m.in. ze znanego rozwini\k{e}cia funkcji kosinus.
Oblicz pochodn\k{a} $f^{(101)}(0)$.

\noindent
(Uwaga: prosz\k{e} nie pr\'obowa\'c bezpo\'srednio oblicza\'c 
ca{\l}ki $\int \cos(t^2)\,dt$, to si\k{e} nie uda\ldots).

\item
Wyznacz obszar zbie\.zno\'sci szeregu pot\k{e}gowego
 $$%\text{(a)} \sum_{n=1}^\infty (1+\frac1n)^{n^2}e^{-xn},\qquad\text{(b)}
\sum_{n=1}^\infty \frac{(3+(-1)^n)^n}{n}x^n$$
%Wskaz\'owka do B $\lim_{n\to\infty}(\frac{(1+\frac1n)^n}{e})^n=1$.

\item
Udowodnij, \.ze dla dowolnej funkcji ci\k{a}g{\l}ej $f:[0,1]\to \R$
istnieje ci\k{a}g wielomian\'ow $P_n$ taki, \.ze $P_n \rightrightarrows f$
na $[0,1]$ oraz $f(x)\leq P_{n+1}(x) \leq P_n(x)$ dla dowolnych $x\in \R$
i~$n\in \N$. Wskaz\'owka: skorzystaj z~twierdzenia Weierstrassa.
(Prostsza wersja za nieco mniej punkt\'ow:
tylko warunek $f(x)\leq P_n(x)$ zamiast $f(x)\leq P_{n+1}(x) \leq P_n(x)$).

\end{enumerate}

\end{document}