Specjalność
STATYSTYKA MATEMATYCZNA
na kierunku MATEMATYKA.
Instytut Matematyki i Informatyki
Politechnika Wrocławska
Opracował zespół:
prof. dr hab. Ryszard Magiera, dr Alicja Jokiel-Rokita, dr hab. Maciej Wilczyński
Funkcja przeżycia
Analiza czasu przeżycia
Badamy czas \(T\) jaki musi upłynąć, by nastąpiło pewne interesujące nas zdarzenie. Najbardziej typowym przykładem takiej analizy jest mierzenie czasu jaki mija od operacji chirurgicznej do śmierci operowanego pacjenta. Z tego powodu tak rozumiany czas \(T\) nazywamy czasem przeżycia, a rozważania statystyczne, których celem jest sformułowanie wniosków dotyczących tej wielkości, określamy mianem analizy czasu przeżycia. Taki rodzaj badań pojawia się jednak nie tylko w przypadkach medycznych.
Przykłady analizy czasu przeżycia
Badamy
- niezawodność podzespołów elektronicznych opisaną przez liczbę godzin bezawaryjnej pracy tych elementów,
- czas korzystania przez klienta z oferowanej mu usługi (np. z usług operatora telefonii komórkowej),
- czas jaki mija od dnia operacji do zgonu osoby poddanej temu zabiegowi chirurgicznemu,
- skuteczność nowej terapii mierzoną liczbą miesięcy, które mijają od rozpoczęcia leczenia do wyzdrowienia pacjenta.
W każdym z tych przykładów, \(T\) jest nieujemną zmienną losową wyrażoną w latach, miesiącach, tygodniach, dniach itp. Ze względu na interpretację tej wielkości (\(T\) jest czasem), przyjmujemy że rozkład zmiennej losowej \(T\) jest ciągły.
Własności funkcji przeżycia
Interesuje nas funkcja przeżycia \(S\), która dla ustalonego \(t\in\mathbb{R}\) określa prawdopodobieństwo przyjęcia przez \(T\) wartości większej niż \(t\) (nazywane prawdopodobieństwem przeżycia powyżej czasu \(t\)).
\(\displaystyle S(t) = Pr(T>t), t \in \mathbb{R}.\)
Z powyższej definicji wynikają następujące własności:
Funkcja przeżycia jest nierosnąca, gładka oraz taka, że \(S(0)=1\) i \(\displaystyle\lim_{t\to\infty} S(t)=0\).
Rysunek 1: Kształt funkcji przeżycia
Inne własności funkcji przeżycia
Niech \(F\) i \(f\) oznaczają dystrybuantę i gęstość rozkładu zmiennej \(T\)
\(\displaystyle F(t) = Pr(T\leq t) = \int_{-\infty}^t f(x) \mathop{d}x, \quad t\in\mathbb{R}.\)
Ponieważ \(T\) jest zmienną losową typu ciągłego, więc
\(\displaystyle S(t) = 1-F(t) = \int_t^{\infty} f(x) \mathop{d}x\) i \(\displaystyle f(t) = -\frac{\mathop{d}S(t)}{\mathop{d}t}\), \(t\in\mathbb{R}.\)
Znając postać funkcji przeżycia \(S(t)\) zmiennej losowej \(T\) (czy też znając jej dystrybuantę \(F(t)\)), możemy wyznaczyć ważne parametry liczbowe charakteryzujące rozkład tej zmiennej losowej.
Parametry liczbowe charakteryzujące rozkład czasu przeżycia
Wartość oczekiwana zmiennej losowej \(T\):
\(\displaystyle m = \mathop{E}T = \int_0^\infty t f(t)\mathop{d}t = \int_0^\infty S(t)\mathop{d}t.\)
Wariancja zmiennej losowej \(T\)
\(\displaystyle \mathop{Var}T = \mathop{E}(T-\mathop{E}T)^2 = 2 \int_0^\infty t S(t) \mathop{d}t – \left(\int_0^\infty S(t)\mathop{d}t\right)^2.\)
Kwantyl rzędu \(p\) rozkładu ciągłej zmiennej losowej \(T\) (\(p\in(0,1)\)). Jest to dowolna wartość \(t_p\), taka że \(Pr(T>t_p) = 1 – p\). Oznacza to, że kwantyl rzędu \(p\) jest rozwiązaniem równania \(S(t_p) =1- p\).
Inne parametry charakteryzujące czas życia
Innym parametrem, ważnym w ubezpieczeniach życiowych, jest:
Oczekiwany dalszy czas życia pewnego obiektu w wieku \(x\)
\(\displaystyle mrl(x) = \mathop{E} (T-x|T>x).\)
Dla ciągłego czasu życia, po scałkowaniu przez części otrzymujemy:
\(\displaystyle mrl(x) = \frac{\int_x^\infty (t-x)f(t)\mathop{d}t}{S(x)} = \frac{\int_x^\infty S(t)\mathop{d}t}{S(x)}.\)
Między \(mrl(x)\) i rozkładem zmiennej losowej \(T\) zachodzi odpowiedniość wzajemnie jednoznaczna.
Interpretacja parametrów czasu życia
Powyższe parametry mają swoją ważną interpretację.
Wartość oczekiwana \(m = \mathop{E}T\) oznacza, w pewnym sensie, średnią wartość przyjmowaną przez zmienną losową \(T\).
Wariancja \(\mathop{Var}T\) jest miarą rozproszenia rozkładu \(T\) wokół średniej \(m\) (im mniejsza wariancja, tym rozkład bardziej skupiony).
Jeśli \(T\) opisuje czas życia w pewnej populacji, to kwantyl rzędu \(p\) oznacza wiek, który przekracza jedynie \((1 – p)\times100\%\) populacji.
Parametr \(mrl(x)\) oznacza przeciętną liczbę lat, które może jeszcze przeżyć osoba kończąca \(x\) lat.
Dystrybuanta empiryczna
Próba prosta
Parametry, charakteryzujące rozkład \(T\), można wyznaczyć znając funkcję przeżycia. W praktycznych zagadnieniach, ta funkcja jest zazwyczaj nieznana, a jej postać należy estymować wykorzystując informacje zawarte w próbie, tzn. znając wartości \(t_1,\ldots,t_n\) przyjęte przez zmienne losowe \(T_1,\ldots,T_n\) mające taki rozkład co \(T\). Niech zmienna losowa \(T\) ma nieznaną dystrybuantę \(F\). Niezależne zmienne losowe \(T_1,\ldots,T_n\) mające ten sam rozkład opisany przez dystrybuantę \(F\) nazywamy losową próbą prostą z \(F\).
Przykłady informacji zawartych w próbach
Przykłady
- Znamy czas bezawaryjnej pracy każdego ze 100 procesorów.
- Wiemy jak długo z usług oferowanych przez firmę Plus GSM korzystał każdy z 2000 klientów tej sieci telefonii komórkowej.
- Wiemy ile czasu po skomplikowanej operacji przeżył każdy ze 100 pacjentów poddanych temu zabiegowi.
- Dla każdego z 50 chorych, leczonych za pomocą nowej metody, znamy czas jaki minął od rozpoczęcia terapii do ich całkowitego wyzdrowienia.
Pojęcie dystrybuanty empirycznej
Jednym z najczęściej używanych estymatorów dystrybuanty rozkładu jest dystrybuanta empiryczna. Dystrybuantą empiryczną losowej próby prostej \(T_1,\ldots,T_n\), opartą na zaobserwowanych wartościach \(t_1,\ldots,t_n\) tej próby, nazywamy funkcję \(\hat F_n \;:\; (-\infty,\infty) \to [0,1]\), przyjmująca w punkcie t wartość:
\(\displaystyle \hat F_n(t; T_1,\ldots,T_n) = \frac{\#\lbrace i: T_i\leq t\rbrace}{n}\), \(t\in \mathbb{R}.\)
Dla ustalonych wartości \(t_1,\ldots,t_n\) próby, dystrybuanta empiryczna \(\hat F_n(t;t_1,\ldots,t_n)\) jest przedziałami stałą funkcją zmiennej \(t\), mającą skoki w punktach \(t_1,\ldots,t_n\). Ponadto, \(\hat F_n(\cdot;t_1,\ldots,t_n)\) jest dystrybuantą rozkładu dyskretnego, przyjmującego wartości \(t_1,\ldots,t_n\) z tym samym prawdopodobieństwem \(1/n\).
Dla uproszczenia zapisu, będziemy oznaczać wartość dystrybuanty empirycznej w punkcie \(t\) symbolem \(\hat F_n(t)\), mimo że ta wartość jest funkcją próby \(T_1,\ldots,T_n\), a więc jest zmienną losową.
Dystrybuantę empiryczną można zapisać także w inny sposób, wykorzystując tzw. statystyki porządkowe (pozycyjne) próby, tzn. wartości próby uporządkowane od najmniejszej do największej.
Niech \(T_{(1)}<\ldots<T_{(n)}\) oznaczają statystyki porządkowe próby \(T_1,\ldots,T_n\). Przy tych oznaczeniach
\(\displaystyle \hat F_n(t) = 1-\prod_{T_{(i)}\leq t}\left(1-\frac1{n-i+1}\right)\), \(t\in\mathbb{R}.\) (1)
Empiryczna funkcja przeżycia
Skoro \(\hat F_n\) jest estymatorem dystrybuanty \(F\), to estymatorem funkcji przeżycia \(S = 1 − F\) jest empiryczna funkcja przeżycia
\(\displaystyle \hat S_n(t) = 1-\hat F_n(t) = \prod_{T_{(i)}\leq t}\left(1-\frac1{n-i+1}\right)\), \(t\in\mathbb{R}.\) (2)
Przykład liczbowy
Konstrukcję estymatora funkcji przeżycia, opartego na dystrybuancie empirycznej, objaśnimy na następującym przykładzie: Obserwacje czasu trwania zaniku objawów choroby u 10 pacjentów chorych na białaczkę dały następujące wyniki (w tygodniach): 6, 6, 6, 7, 10, 10, 13, 16, 22, 23.
Wartości estymatora funkcji przeżycia wystarczy obliczyć dla czasów przeżycia \(0 \leq t_1 \leq t_2 \leq \ldots \leq t_n\), którymi w tym przykładzie są: 6, 7, 10, 13, 16, 22, 23.
Rysunek 2: Estymator krzywej przeżycia oparty na dystrybuancie empirycznej
Własności dystrybuanty empirycznej
Dystrybuanta empiryczna jest bardzo dobrym estymatorem nieznanej dystrybuanty \(F\), gdyż ma szereg optymalnych własności.
Twierdzenie 1: Niech \(\hat F_n(t)\) będzie dystrybuantą empiryczną opartą na próbie prostej \(T_1,\ldots,T_n\) z \(F\). Wówczas
- \(\mathop{E}\hat F_n(t) = F(t)\) i \(\mathop{Var}\hat F_n(t) = \frac{F(t)(1-F(t))}{n}\), dla \(t\in\mathbb{R}\).
- \(\sup_{t\in\mathbb{R}} | \hat F_n(t) – F(t) | \to 0\) z prawdopodobieństwem 1.
- \(Pr(\sum_{t\in\mathbb{R}} | \hat F_n(t) – F(t)| > \varepsilon)\leq 2 \exp(-2n\varepsilon^2)\), dla \(\varepsilon >0\).
- \(\frac{\sqrt{n}(\hat F_n(t)-F(t))}{\sqrt{F(t)(1-F(t))}}\to\mathcal{N}(0,1)\) według rozkładu.
Empiryczna funkcja wiarogodności
Warto wspomnieć, że dystrybuanta empiryczna jest rozwiązaniem pewnego zagadnienia optymalizacyjnego, które opiszemy poniżej. Niech \(\mathcal{F}\) będzie zbiorem wszystkich dystrybuant. Dla dowolnej dystrybuanty \(F\in\mathcal{F}\), symbolem \(P_F\) oznaczymy miarę prawdopodobieństwa, generowaną przez tę dystrybuantę. Nieparametryczną funkcją wiarogodności próby prostej \(T_1,\ldots,T_n\), opartą na zaobserwowanych wartościach \(t_1\ldots t_n\) tej próby, nazywamy funkcjonał \(l\;:\; \mathcal{F} \to [0,1]\), określony wzorem:
\(\displaystyle l(G) = \prod_{i=1}^n P_G(\lbrace t_i\rbrace)\), \(G\in\mathcal{F}.\) (3)
Oczywiście, \(l(G)=0\), gdy \(P_G(\lbrace t_i\rbrace)=0\) dla pewnego \(1\leq i\leq n\).
Kiefer i Wolfowitz udowodnili w 1956 roku poniższe twierdzenie:
Twierdzenie 2: Niech \(T_1,\ldots,T_n\) będzie próbą prostą z \(F\in\mathcal{F}\) i niech \(l\) będzie empiryczną funkcją wiarogodności, zdefiniowaną wzorem (3). Wówczas dystrybuanta empiryczna \(\hat F_n(t)\) maksymalizuje \(l(G)\) względem \(G\in\mathcal{F}\).
Estymator Kaplana-Meiera
Obserwacje cenzurowane
W większości analiz czasu przeżycia napotyka się na problem zwany cenzurowaniem. Cenzurowanie pojawia się wtedy, gdy nie znamy dokładnego czasu przeżycia. Jeżeli czas badania kończy się przed zajściem interesującego nas zdarzenia, to nie mamy informacji jak długi był czas od zakończenia badania do zajścia tego zdarzenia. Przyczyny powstawania obserwacji cenzurowanych w badaniach dotyczących przeżywalności po zastosowaniu nowej terapii
- pacjent nie zmarł w okresie prowadzonych obserwacji,
- pacjent wycofał się z badania (np. wyjechał, zrywając kontakty ze szpitalem),
- pacjent zmarł przed ukończeniem badania z innej przyczyny, niż ta którą jesteśmy zainteresowani.
Przykład badań z obserwacjami cenzurowanymi
Przykład badań, w których mogą pojawić się obserwacje cenzurowane W okresie od 1 stycznia 2005 roku do 31 grudnia 2006 sprawdzamy co się stało z pacjentami, których w pierwszej połowie 2005 roku poddano operacji przeszczepienia nerki.
Obserwacje cenzurowane lewo- i prawostronne
Na ogół obserwacje są cenzurowane z prawej strony, ale mogą też być cenzurowane z lewej strony. Przykładem tego może być czas życia osoby zarażonej wirusem HIV. Obserwujemy czas od momentu stwierdzenia pozytywnego testu na obecność HIV aż do śmierci, ale nie znamy czasu od momentu zarażenia do wykrycia.
W dalszej części wykładu opiszemy najpopularniejszy sposób estymacji funkcji przeżycia S na podstawie obserwacji cenzurowanych prawostronnie. W takim problemie estymacji zakłada się, że cenzurowanie nie ma wpływu na czas przeżycia. Typowa obserwacja zawiera czas badania i informację o tym czy ta wielkość jest czasem do zajścia interesującego nas zdarzenia, czy też czasem do ocenzurowania obserwacji.
Postać obserwacji cenzurowanej prawostronnie
Obserwacja w problemie cenzurowania prawostronnego. Nieznaną dystrybuantę \(F\) zmiennej losowej \(T\) szacujemy na podstawie zaobserwowanych wartości wektora \((X,\delta)\) postaci:
\(\displaystyle X = \min(T,C)\) i \(\displaystyle \delta = \left\lbrace\begin{array}{ll}1,&\mbox{gdy}\; T\geq C,\\0,&\mbox{gdy}\;T<C,\end{array}\right.\) (4)
gdzie \(C\) jest niezależnym od \(T\) momentem cenzurowania.
Znając wartość \(\delta\) wiemy czy zaobserwowana wartość \(X\) jest czasem przeżycia \(T\), czy też jego ocenzurowaną wersją.
Próba prosta w cenzurowaniu prawostronnym
Jeśli obserwacje są cenzurowane, to nieznaną dystrybuantę \(F\) czasu przeżycia \(T\) estymujemy na podstawie próby prostej postaci: Próba prosta rozmiaru \(n\) w problemie cenzurowania. Niezależne wektory losowe \((X_1,\delta_1),\ldots,(X_n,\delta_n)\), mające ten sam rozkład co wektor \((X,\delta)\) postaci (4), nazywamy losową próbą prostą rozmiaru \(n\) w zagadnieniu cenzurowania prawostronnego.
Niech \((X_{(1)},\delta_{(1)}),\ldots, (X_{(n)},\delta_{(n)})\) będą wektorami z próby \((X_1,\delta_1),\ldots, (X_n,\delta_n)\) uporządkowanymi tak, że \(X_{(1)}<\ldots<X_{(n)}\) i niech \((x_{(1)},\delta_{(1)}),\ldots, (x_{(n)},\delta_{(n)})\) będą wartościami przyjętymi przez te wektory.
Estymator Kaplana-Meiera
W 1958 roku Kaplan i Meier zaproponowali, aby przy danych obciętych, nieznaną dystrybuantę \(F\) czasu przeżycia estymować za pomocą następującej modyfikacji dystrybuanty empirycznej: Estymator Kaplana-Meiera dystrybuanty \(F\)
\(\displaystyle \hat F_n(t) = 1 – \prod_{X_{(i)}\leq t} \left( 1 – \frac{\delta_i}{n-i+1}\right)\), \(t\in\mathbb{R}.\) (5)
Do estymacji funkcji przeżycia \(S=1-F\) można więc wykorzystać estymator Kaplana-Meiera funkcji przeżycia \(S\)
\( \displaystyle \hat S_n(t) = \prod_{X_{(i)}\leq t} \left( 1 – \frac{\delta_i}{n-i+1}\right)\), \(t\in\mathbb{R}.\) (6)
Własności estymatora Kaplana-Meiera
Estymator Kaplana-Meiera też ma szereg optymalnym własności.
Twierdzenie 3: Niech \(F_n\) będzie estymatorem Kaplana-Meiera i niech \(\tau\) będzie dowolną liczbą, taką że \(Pr(X<\tau)<1\) . Wówczas
- \(\mathop{E}\hat F_n(t) \to F(t)\).
- \(\sup_{t\leq\tau} |\hat F_n(t) – F(t) | \to 0\) według prawdopodobieństwa.
- \(\sqrt{n}(\hat F_n(t) – F(t))\) ma asymptotyczny rozkład normalny.
Empiryczna funkcja wiarogodności dla danych obciętych
Warto wspomnieć, że estymator Kaplana-Meiera dystrybuanty, podobnie jak i dystrybuanta empiryczna, jest rozwiązaniem zagadnienia optymalizacyjnego, które opiszemy poniżej. Nieparametryczną funkcją wiarogodności dla danych obciętych \((X_1,\delta_1),\ldots,(X_n,\delta_n)\) nazywamy funkcjonał \(l\;:\;\mathcal{F}\to[0,1]\), określony wzorem:
\(\displaystyle l(G) = \prod_{i=1}^n p_i^{\delta_{(i)}}\left(\sum_{j=i+1}^{n+1} p_j\right)^{1-\delta_{(i)}}\), \(G\in\mathcal{F}\), (7)
gdzie \(p_i = P_G(\lbrace x_{(i)}\rbrace)\) dla \(i=1,\ldots, n\) i \(p_{n+1} = 1-G(x_{(n)})\).
Uogólnienie rezultatu Kiefera i Wolfowitza
Można udowodnić następujące twierdzenie, będące uogólnieniem rezultatu Kiefera i Wolfowitza.
Twierdzenie 4: Niech \((X_1,\delta_1),\ldots,(X_n,\delta_n)\) będzie próbą prostą dla danych cenzurowanych i niech \(l\) będzie empiryczną funkcją wiarogodności, zdefiniowaną wzorem (7). Wówczas estymator Kaplana-Meiera \(\hat F_n\) maksymalizuje \(l(G)\) względem \(G\in\mathcal{F}\).
Alternatywna postać estymatora Kaplana-Meiera
Niech \(N_n\) i \(Y_n\) będą procesami na \([0,\infty)\) określonymi wzorami:
\(\displaystyle N_n(t) = \#\{i\;:\; X_i\leq t, \delta_i=1\}\), \(\displaystyle Y_n(t) = \#\{i\;:\; X_i\geq t\}\).
Interpretację estymatora Kaplana-Meiera funkcji przeżycia \(S\) ułatwia zapisanie tego estymatora w równoważnej postaci: Alternatywna postać estymatora Kaplana-Meiera funkcji przeżycia
\(\displaystyle \hat S_n(t) = \prod_{s\leq (t\wedge X_{(n)})} \left(1-\frac{\Delta N_n(s)}{Y(s)}\right)\), (8)
gdzie \(\Delta N_n(s) = N_n(s) – N_n(s-)\).
Rozważania heurystyczne
Heurystyczne rozważania prowadzące do wzoru (8) zilustrujemy na przykładzie przeżywalności po przeszczepie nerki. Zauważmy, ze prawdopodobieństwo tego, że pacjent przeżyje \(k\) dni po transplantacji jest równe prawdopodobieństwu przeżycia \(k-1\) dni, pomnożonemu przez prawdopodobieństwo warunkowe przeżycia \(k\) dni, gdy wiadomo, że pacjent przeżył pierwszych \(k-1\) dni, tzn.
\(S(0)=1\) i \(S(k)=S(k-1)Pr(T>k|T\geq k)\), \(k\geq1\). (9)
Ponieważ
\(Y(k) =\) liczba osób, które przeżyły co najmniej \(k\) dni
\(\Delta N_n(k) =\) liczba osób, które zmarły w \(k\)-tym dniu,
więc \(1-\frac{\Delta N_n(k)}{Y(k)} = \frac{Y(k)-\Delta N_n(k)}{Y(k)}\) jest sensownym oszacowaniem prawdopodobieństwa tego, osoba która przeżyła \(k-1\) dni przeżyje co najmniej \(k\) dni, tzn. estymatorem \(Pr(T>k|T\geq k)\) jest
\(\displaystyle\widehat{Pr}(T>k|T\geq k) = 1-\frac{\Delta N_n(k)}{Y(k)}\).
Ze wzoru (9) natychmiast wynika, że funkcję przeżycia \(S\) możemy oszacować przyjmując: \(\hat S_n(0)=1\) i
\(\displaystyle \hat S_n(k) = \hat S_n(k-1) \widehat{Pr}(T>k|T\geq k) = \hat S_n(k-1)\left(1-\frac{\Delta N_n(k)}{Y(k)}\right)\), \(k\geq 1\).
Stąd wynika postać (8) estymatora Kaplana-Meiera \(\hat S_n\).
Estymator \(\widehat{Pr}(T>k|T\geq k)\) ma wartość 1, jeśli w \(k\)-tym dniu nikt nie zmarł. Do wyznaczenia \(S_n\) wystarcza więc obliczenie wartości przyjmowanych przez \(S_n\) w dniach zgonów.
Przykład liczbowy
Konstrukcję estymatora Kaplana-Meiera objaśnimy na następującym przykładzie, w którym plusy oznaczają cenzurowanie: Obserwacje czasu trwania zaniku objawów choroby u 21 pacjentów chorych na białaczkę dały następujące wyniki (w tygodniach): 6, 6, 6, 7, 10, 13, 16, 22, 23, 6+, 9+, 10+, 11+,17+, 19+, 20+, 25+, 32+, 32+, 34+, 35+.
Wartości estymatora funkcji przeżycia wystarczy obliczyć dla niecenzurowanych czasów przeżycia \(0<t_1<t_2<\ldots<t_k\), którymi w tym przykładzie są: 6, 7, 10, 13, 16, 22, 23. Dla uproszczenia zapisu, symbolami \(Y_i\) oraz \(d_i\) oznaczymy wielkości \(Y_n(t_i)\) oraz \(\Delta N_n(t_i)\) (tzn. liczbę osób, które „przeżyły“ co najmniej \(t_i\) tygodni oraz liczbę osób „zmarłych“ w tygodniu \(t_i\), \(i=1,\ldots,n\)).
Ze wzoru (8): \(\hat S_n(0) = 0\) i \(\hat S_n(t_i) = \hat S_n(t_{i-1})\left(1-\frac{d_i}{Y_i}\right)\).
| \(t_i\) | \(d_i\) | \(Y_i\) | \(\hat S_n(t_i)\) |
| 6 | 3 | 21 | \(1-\frac{3}{21}=0.857\) |
| 7 | 1 | 17 | \(0.857(1-\frac{1}{17}) = 0.807\) |
| 10 | 1 | 15 | \(0.807(1-\frac{1}{15}) = 0.753\) |
| 13 | 1 | 12 | \(0.753(1-\frac{1}{12}) = 0.690\) |
| 16 | 1 | 11 | \(0.690(1-\frac{1}{11}) = 0.628\) |
| 22 | 1 | 7 | \(0.628(1-\frac{1}{7}) = 0.538\) |
| 23 | 1 | 6 | \(0.538(1-\frac{1}{6}) = 0.448\) |
Tabela 1: Estymator Kaplana-Meiera dla chorych na białaczkę
Rysunek 3: Estymator krzywej przeżycia
← Znaczenie sekwencyjnego sposobu podejmowania decyzji
Wersja tej strony w postaci prezentacji: Metody analizy funkcji przeżycia (PDF)
