Mieszanie na ekranie, czyli   uroki arytmetyki modularnej   dr Teresa Jurlewicz, Instytut Matematyki i Informatyki PWr     Łukasz Świątkowski, student Wydziału Informatyki i Zarządzania PWr     oraz gościnnie mgr inż. Małgorzata Tańska, absolwentka PWr

Materiały z wykładu

• Chaos na kwadratowej planszy

• Treści zagadek

KALKULATOR MODULARNY oraz inne aplikacje komputerowe dotyczące arytmetyki modularnej znajdują się pliku  SA2005.

Aplikacje komputerowe dotyczące cyklicznego chaosu

• PXELOWY MXER (Pikselowy Mikser)

Prezentacja ilustruje zagadnienie macierzowego przekształcania obrazu umieszczonego na kwadratowej planszy o n wierszach i kolumnach ponumerowanych od 0 do n - 1. Współrzędne ( i, j ) fragmentu tego obrazu i współrzędne ( i', j' ) obrazu tego fragmentu w rozważanym przekształceniu związane są wzorem  ( i', j' ) = A ( i, j ) (mod n), przy czym i, i' oznaczają numery wierszy, zaś j, j' numery kolumn odpowiednich elementów, zaś A jest macierzą stopnia 2 o elementach ze zbioru { 0, 1, 2, ..., n - 1 }, której wyznacznik jest względnie pierwszy z n. Przekształcenie nosi nazwę chaosu na kwadratowej planszy, macierz A jest tzw. macierzą mieszającą lub macierzą chaosu. W prezentacji dla n = 7 i A = {{1,1},{1,2}} obserwujemy ciąg kolejnych iteracji chaosu i jego cykliczność. Długość tego cyklu w tym przypadku wynosi L = 8. Aplikacja została wykonana przy pomocy narzędzia Macromedia Flash MX przez Małgorzatę Tańską, absolwentkę Wydziału Informatyki i Zarządzania, kierunek Informatyka, specjalność Systemy Informacyjne.




• Chaos na planszy wymiaru 5.

Program obrazuje przemieszczanie się wszystkich pól kwadratowej planszy wymiaru 5 przy kolejnych iteracjach chaosu. Danymi do programu są cztery współczynniki macierzy chaosu przyjmujące wartości 0, 1, 2, 3, 4. Wyznacznik tej macierzy liczony modulo 5 musi być różny od zera (tzn. zwykły wyznacznik nie może być podzielny przez 5). Po wprowadzeniu macierzy i naciśnięciu klawisza Generuj na ekranie ukazują się 32 kolorowe plansze z kolejnymi iteracjami. Wyraźnie widać cykliczny charakter tego procesu. Najdłuższy cykl równy L = 24 daje np. macierz {{4,4},{4,3}}. Warto dodać, że wśród wszystkich 625 macierzy stopnia 2 o elementach 0, 1, 2, 3, 4 jest 480 macierzy chaosu. Stanowią one więc ok. 77% wszystkich macierzy.  Aplikacja została napisana w języku Delphi przez Michała Bryłkę, studenta Wydziału Informatyki i Zarządzania, kierunek Informatyka, specjalność Podstawowe Problemy Informatyki.

• Chaos na dwukolorowej planszy

W trakcie prezentacji obserwujemy krok po kroku proces powstawania sensownego obrazu z "chaotycznie" rozmieszczonych elementów. Na bieżąco wyświetlane są wyniki obliczeń nowych współrzędnych tych elementów przy jednej iteracji chaosu. Kliknięcie na zielony element lewej planszy powoduje przeniesienie go na prawą planszę zgodnie z podanym wzorem. Dodatkowym urozmaiceniem jest animacja rysunku.   Aplikacja została wykonana przy pomocy narzędzia Macromedia Flash MX przez Małgorzatę Jurlewicz, absolwentkę Wydziału Informatyki i Zarządzania, kierunek Informatyka, specjalność Systemy Informacyjne.

• Cykliczny chaos 2D Program pozwala śledzić ciąg obrazów generowanych przez kolejne iteracje chaosu dla kwadratowej bitmapy wymiaru n. Po wczytaniu bitmapy oraz podaniu macierzy chaosu wyświetlają się: długość cyklu, potęga modulo n macierzy chaosu odpowiadająca bieżącej iteracji oraz macierz odwrotna modulo n do macierzy chaosu cofająca iteracje.

  Przykładowym obrazem, zaproponowanym przez autora programu, jest bitmapa wymiaru 127 przedstawiająca Kaczora Donalda. Wskazana macierz chaosu A ={{11,7},{3,1}} tworzy ciąg iteracji o długości cyklu L = 1344. Śledząc ten ciąg obserwujemy ciekawe efekty. Pojawiają się różne pasy i paski, jodełki, sploty, grudki, ciapki, cienie, prążki, a także drobny mak. Wzory i desenie są regularne, estetyczne, równomiernie rozłożone na ekranie. Podobne fragmenty nie są identyczne, tylko cieniowane. Zmiany są płynne. Uzyskujemy miłe efekty wizualne. Interesujące są obrazy iteracji odpowiadających macierzom bieżącym postaci  c.I , gdzie I jest macierzą jednostkową stopnia 2. Np. dla c = 64 = 1/2 modulo 127 (iteracja 576) oraz dla c = 51 =  1/5 modulo 127 (iteracja 1312) obraz się "rozmnaża". Dla c = -1 (iteracja 672) obraz jest odwrócony. Dla c = 5 ( iteracja 32) obserwujemy piękny efekt przenikania się obrazu. Aplikacja została napisana w języku Delphi przez  Łukasza Świątkowskiego, studenta Wydziału Informatyki i Zarządzania, kierunek Informatyka, specjalność Podstawowe Problemy Informatyki.

• Cykliczny chaos 3D.  Program pozwala śledzić ciąg obrazów generowanych przez kolejne iteracje chaosu dla kolorowych kompozycji przestrzennych zawartych w sześcianie o boku n i zbudowanych z małych sześcianów jednostkowych, czyli klocków pełniących rolę "trójwymiarowych pikseli". Po wczytaniu trójwymiarowego obrazu oraz podaniu macierzy chaosu stopnia 3 wyświetlają się: długość cyklu, potęga modulo n macierzy chaosu odpowiadająca bieżącej iteracji oraz macierz odwrotna modulo n do macierzy chaosu cofająca iteracje. Istnieje także możliwość zajrzenia do wnętrza danej bryły poprzez podświetlanie jej przekrojów kolejnymi płaszczyznami równoległymi do płaszczyzn układu współrzędnych.

  Autor programu zaproponował kilka kompozycji przestrzennych zbudowanych z małych sześcianów.  Są to dwie kostki wymiaru 7, pudełko wymiaru 13, domek wymiaru 13 oraz kula wymiary 31. Elementy składowe tych kompozycji przy kolejnych iteracjach chaosu przemieszczają się w sposób różnorodny, ale regularny, estetyczny, miły dla oka, czasami nawet zaskakujący. Kolejne obrazy można generować bardzo szybko, ale dzięki możliwości cofnięcia kroku zawsze można "upolować" interesujący obraz, który nam mignął przed oczyma w czasie animacji. Ciekawe efekty obserwujemy dla macierzy chaosu postaci c.I ,  gdzie I jest macierzą jednostkową stopnia 3. Podobnie było też w przypadku płaskim. Na przykład dla kuli przy c = 16 otrzymujemy ciąg 5 iteracji, z których kolejne rozbijają tę kulę na kilka mniejszych. Aplikacja została napisana w języku Delphi przez  Łukasza Świątkowskiego, studenta Wydziału Informatyki i Zarządzania, kierunek Informatyka, specjalność Podstawowe Problemy Informatyki.

• Iteracje chaosu. Program generuje zadany ciąg iteracji chaosu dla danej kwadratowej bitmapy wymiaru n. Po podaniu macierzy chaosu i naciśnięciu klawisza Generuj na ekranie przesuwają się obrazy kolejnych iteracji. Jednocześnie automatycznie tworzy się nowy plik wczytujący wszystkie wygenerowane obrazy. Można je dokładnie obejrzeć jako pokaz slajdów za pomocą programu graficznego, np.Irfan View lub ZoomBrowser Ex.

Przykładowym obrazem, zaproponowanym przez autora programu, jest bitmapa wymiaru 300 przedstawiająca Kubusia Puchatka. Wskazana macierz chaosu A ={{1,2},{1,3}} tworzy stosunkowo krótki ciąg iteracji o długości cyklu L = 60. Interesujący jest obraz iteracji o numerze k = 30. Widzimy efekt przenikania i nakładania się wyjściowego obrazu. Uzyskujemy go dzięki macierzy A^30 = 151 I, gdzie I jest macierzą jednostkową stopnia 2. Liczba 151 pełni w tym przypadku rolę pierwiastka kwadratowego modulo 300 z jedności, gdyż 151*151 = 1 modulo 300. Liczba 151 jest też swoją odwrotnością modulo 300. Aplikacja została napisana w języku Delphi przez  Michała Bryłkę, studenta Wydziału Informatyki i Zarządzania, kierunek Informatyka, specjalność Podstawowe Problemy Informatyki.